# Теория вероятностей · Лекция 5 · Условная вероятность

> Коротко: что такое $P(A \mid B)$, формула полной вероятности и формула Байеса.

## Условная вероятность

> [!определение] Определение
> Пусть $P(B) > 0$. Вероятность события $A$ при условии, что произошло $B$:
> $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Отсюда **правило умножения**: $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$.

События **независимы**, если $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ — тогда $P(A \mid B) = P(A)$.

## Формула полной вероятности

> [!теорема] Теорема
> Пусть $H_1, \dots, H_n$ — полная группа гипотез: они попарно несовместны, $H_1 \cup \dots \cup H_n = \Omega$ и $P(H_i) > 0$. Тогда
> $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid H_i)\,P(H_i)$$

## Формула Байеса

Как изменилась вероятность гипотезы, когда узнали, что $A$ произошло:

$$P(H_k \mid A) = \frac{P(A \mid H_k)\,P(H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A \mid H_i)\,P(H_i)}$$

## Пример

> [!пример] Две урны
> В первой урне 3 белых и 2 чёрных шара, во второй — 1 белый и 4 чёрных. Урну выбирают наугад, из неё достают шар.

- Гипотезы: $H_1$ — первая урна, $H_2$ — вторая, $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2}$.
- $P(\text{белый} \mid H_1) = \frac{3}{5}$, $P(\text{белый} \mid H_2) = \frac{1}{5}$.
- По полной вероятности: $P(\text{белый}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
- Достали белый. По Байесу: $P(H_1 \mid \text{белый}) = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{4}$.

## Плотность: показательный закон

$$
f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \end{cases}
\qquad M\xi = \frac{1}{\lambda}, \quad D\xi = \frac{1}{\lambda^2}
$$

При $\lambda = 2$ закрашено $P(0{,}5 \le \xi \le 1)$:

```график
x: -0.5 .. 3
y: -0.3 .. 2.5
y = 2e^(-2x) "$f(x) = 2e^{-2x}$"
область: y >= 0, y <= 2e^(-2x), x >= 0.5, x <= 1
точка: (0, 2) "λ = 2"
```

## Нормальный закон

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^2/2}, \qquad P(-1 < \xi < 1) \approx 0{,}683$$

```график
x: -4 .. 4
y: -0.05 .. 0.5
y = exp(-x^2/2)/sqrt(2pi)
область: y >= 0, y <= exp(-x^2/2)/sqrt(2pi), x >= -1, x <= 1
подпись: (0.5, 0.1) "$\approx 0{,}683$"
```

⚠️ Лектор: «формулу Байеса спрошу на экзамене с выводом».